Trong vật lý, các đối tượng biểu diễn dưới dạng bra-ket trong không gian Hilbert (không gian tích trong hoàn chỉnh).

Gọi H {\displaystyle {\mathcal {H}}} là không gian Hilbert và h {\displaystyle h} là một vector trong H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . Những nhà vật lý sẽ ký hiệu |h⟩ đơn thuần là một vector | h ⟩ ∈ H {\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}}

Gọi H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} là không gian kép với H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . Đó là không gian hàm tuyến tính với H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . Đẳng cấu Φ : H → H ∗ {\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}^{*}} được định nghĩa Φ ( h ) = ϕ h {\displaystyle \Phi (h)=\phi _{h}} với mọi g ∈ H {\displaystyle g\in {\mathcal {H}}} ta có

ϕ h ( g ) = IP ( h , g ) = ( h , g ) = ⟨ h , g ⟩ = ⟨ h | g ⟩ {\displaystyle \phi _{h}(g)={\mbox{IP}}(h,g)=(h,g)=\langle h,g\rangle =\langle h|g\rangle }

trong đó IP ( ⋅ , ⋅ ) , ( ⋅ , ⋅ ) , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle {\mbox{IP}}(\cdot ,\cdot ),(\cdot ,\cdot ),\langle \cdot ,\cdot \rangle } và ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } là các ký hiệu khác nhau của tích trong của hai phần tử trong không gian Hilbert. Rắc rối xảy đến khi cần nhận diện ϕ h {\displaystyle \phi _{h}} và g {\displaystyle g} với ⟨ h | {\displaystyle \langle h|} và | g ⟩ {\displaystyle |g\rangle } tương ứng vì ý nghĩa của các biểu tượng. Cho rằng ϕ h = H = ⟨ h | {\displaystyle \phi _{h}=H=\langle h|} và g = G = | g ⟩ {\displaystyle g=G=|g\rangle } ta rút ra:

ϕ h ( g ) = H ( g ) = H ( G ) = ⟨ h | ( G ) = ⟨ h | ( | g ⟩ ) {\displaystyle \phi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|(|g\rangle )}

Khi đã bỏ qua các cặp ngoặc tròn cũng như thanh sổ đôi thì các tính chất của hệ ký hiệu này trở nên tiện lợi khi phải xử lý với các toán tử tuyến tính và các hàm hợp hoạt động theo kiểu phép nhân vành.

Các nhà toán học còn cách biểu diễn khác cho hệ đôi trên, không dùng biểu tượng *, mà dùng gạch trên (các nhà vật lý sử dụng như giá trị trung bình và liên hợp Dirac) để ký hiệu các số phức liên hợp. Như trong tích vô hướng họ sẽ viết:

( ϕ , ψ ) = ∫ ϕ ( x ) ⋅ ψ ( x ) ¯ d x , {\displaystyle (\phi ,\psi )=\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,{\rm {d}}x\,,}

còn những nhà vật lý thì viết với số lượng tương đương:

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ∫ d x ψ ∗ ( x ) ⋅ ϕ ( x ) . {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int {\rm {d}}x\,\psi ^{*}(x)\cdot \phi (x)\,.}